Парадоксы ожидания и ожидания парадоксов

Основатель Лондонской фондовой биржи сэр Томас Грэшам (Thomas Grasham, 1519-1579), культовая фигура в области финансов, автор знаменитого парадокса «Хорошие деньги всегда вытесняются плохими», первым, по-видимому, понял, что математика играет важную роль в анализе биржевых операций. В своём завещании он оставил план создания колледжа, в котором математика рассматривалась в качестве ведущей учебной дисциплины. Принято считать, что именно создание этого колледжа предопределило возникновение Лондонского Королевского общества – Британской академии наук.

«И опыт, сын ошибок трудных...»

У cовременных биржевиков математика вызывает почитание почти религиозное. Оно и понятно: результаты математического анализа рыночной конъюнктуры облекаются в устрашающе наукообразную форму. Уже один лишь вид оных исключает всякие сомнения трейдера в выводах, освящённых авторитетом царицы наук. Но сомневаться полезно. Путь к пониманию лежит через познание, возникающее из сомнения. Источником последнего зачастую выступает парадокс, подрывающий рельсы перед эшелонами мышления, гружеными тяжкими предрассудками опыта. Парадокс, как партизанский способ познания истины, не зря пользуется таким уважением в науке.

Рассмотрим пару парадоксов, объединённых проблемой времени ожидания. Хорошо известно, что куда бы нам ни надо было ехать, автобусы и трамваи обычно идут в противоположном направлении. С дэйтрейдингом связаны те же печальные наблюдения. Допустим, вы открыли позицию, строго следуя правилам фундаментального и технического анализа. Можете не сомневаться, что в большинстве случаев рынок пойдёт против вашей позиции, побуждая вас к скорейшей её ликвидации.

Спеша по делам и экономя время, которое суть те же деньги, мы зачастую уходим с остановки автобуса, унося ощущение парадоксальности трафика. А наиболее упорные из нас, оставаясь ждать дальше, невольно задумываются о теории вероятностей: неужели с этой благородной наукой не всё O.K.?

Да нет, с теорией всё в порядке. Но мысли о времени, потраченном на ожидания, конечно, приходили не в одну учёную голову. И не только в связи с расписанием движения автобусов.

В начале прошлого века А. Эрланг (Agner Kraup Erlang) исследовал время ожидания вызовов на телефонных станциях. В 30-х годах В. Феллер (Vilim Feller) разобрал продолжительность ожидания в очередях всех разновидностей с помощью модели, описывающей процесс «гибели-размножения». Эта модель оказалась чрезвычайно продуктивной. В частности, она дала импульс к развитию вероятностной дисциплины под названием «теория массового обслуживания». Как раз в рамках этой прикладной науки и получил рациональное объяснение парадокс, связанный с поразительным поведением рейсового транспорта. Логично предположить, что время прибытия автобусов на остановку, на которой вы фиксируете выжидательную позицию, подчиняется некоторой функции плотности: то автобусы идут один за другим, то наступает пауза. Следует принять во внимание следующее. На остановку вы приходите в случайный момент времени и, следовательно, будете ожидать скорее дольше, чем меньше. В общем случае ваши шансы попасть в интервал, когда автобусы идут один за другим, меньше, чем попасть в интервал их отсутствия, относительно продолжительный. Отметим, что из попутных вы замечаете лишь один автобус – только тот, на котором вы покинете свой наблюдательный пункт. Однако вероятность того, что за время, пока вы ждёте попутного автобуса, в другую сторону их пройдёт два или три, – положительна. Стало быть, в принципе возможны следующие схемы событий:

1) ваш автобус пришёл быстро, т.е. раньше, чем ваши размышления сконцентрировались на теории вероятностей;

2) автобус в нужном вам направлении не приходил долго, но за это время не было и обратного движения;

3) долго не было попутного автобуса, в другую же сторону транспорт ходил исправно.

Первый и второй случаи просто выпадают из наблюдательной практики, последний же вполне вероятен и всегда замечается. Иными словами, парадокс объясняется психологией наблюдения. Убедительность независимых наблюдений здесь того же типа, что и в оптической иллюзии, когда диск Солнца у горизонта кажется крупнее, чем в зените. Соответственно, и справиться с психологическим по происхождению парадоксом относительно несложно. Так, в случае, когда муниципальные власти могут позволить себе иметь много машин на линии, парадокс рассматриваемого типа можно было бы свести на нет, позволив водителям дольше стоять на остановках в ожидании подхода пассажиров.

Кстати, в движении лифтов высотных зданий проблема «противоположного движения» практически незаметна именно потому, что время подхода пассажиров к лифту соизмеримо со временем его стоянки на этаже.

Таким образом, транспортный парадокс может быть снят путём уменьшения среднего времени ожидания пассажирами транспорта (автобуса, самолёта, лифта) – например, за счёт увеличения времени, которое транспортное средство ожидает пассажиров на остановках. На самом деле, лифт ещё можно задержать, чтобы подождать людей, которые скоро подойдут, но чтобы в условиях современного мегаполиса водитель автобуса поджидал пассажиров на остановках – это, конечно, скорее, из области теоретических допущений. Если водителя хотя бы в принципе можно попросить подождать несколько секунд, то рынок даже теоретически невозможно уговорить или заставить в чём-то уступить трейдеру. Рынок ничего никому не должен, но и не злонамерен – любят подчёркивать профессионалы. Однако личный опыт начинающих трейдеров, вопреки здравому смыслу, гласит о будто бы злонамеренном временами поведении рынка. Некоторые при этом ссылаются на полученные из опыта соотношения удачных и неудачных примеров открытия позиций, подтверждающие разительное превосходство частоты последних.

«И гений – парадоксов друг...»

Возникает некий статистический парадокс. Парадокс – это то, что противоречит здравому смыслу. Пусть трейдер открывал позиции, что называется, наудачу. Но, по здравому смыслу, результат даже столь примитивной стратегии должен был бы систематически приводить лишь к тому, что на продолжительном интервале времени выигрыш компенсируется проигрышем, а финальный результат оказывается близок к нулю, не так ли? Не так! «По брокерской статистике, 90 из 100 нынешних игроков, скорее всего, через год оставят биржу», – сухо сообщает один из теоретиков трейдинга. И, чтобы расставить точки над i, тут же уточняет: «Скатившись на дно, они отступят, не сумев оправиться от удара. Они постараются забыть биржевую игру как кошмарный сон» [1].

Мысль, интересная для нас тем, что неспособность подавляющей части людей адаптироваться к рынку профессионал принимает как данность, т.е. не усматривает в этом положении дел никакого парадокса. Считается, что трейдеры в большинстве случаев основывают свои решения отнюдь не на стохастическом (типа бросания монеты) принципе. Для принятия решений они могут использовать опыт, обращаться к фундаментальному и техническому анализу рынка, привлекать информационные технологии, здравый смысл, наконец. Но ведь и открытые «по науке» позиции зачастую тоже приходится поспешно закрывать, а статистика неудачных вхождений в рынок даже опытных трейдеров заставляет задумываться о некоем парадоксе. О каком именно?

Да всё о том же – о парадоксе обратного движения. Ведь когда вы, надеясь выиграть, открываете некоторую позицию, биржа тоже, фигурально выражаясь, «открывает позицию». Против вас. Собственно, она всегда играет против вас. И не только потому, что всегда есть проскальзывание (slippage) той или иной природы. Есть ещё такое явление, как нетранзитивность, которое тоже работает против ваших интересов. Про проскальзывание пишут во всех руководствах по трейдингу. Давайте попытаемся разобраться в парадоксе нетранзитивности в плане воздействия означенного парадокса на благосостояние трейдера. Но вначале выясним, что скрывается за не весьма благозвучным словом «нетранзитивность». Большинство людей в корне «транзит» сразу уловят аналогию с транспортной проблемой, о которой шла речь выше, и догадаются, что нетранзитивность – это какая-то характеристика движения, причем со смыслом отрицания. Так оно и есть: в одну сторону деньги идут чаще, чем в другую. И вы, по-видимому, догадались, что как раз благодаря нетранзитивности они чаще идут в сторону биржи, чем трейдера. Но если в ситуации с автобусами подобный тип движения на самом деле есть не более чем иллюзия, то на бирже, как известно, иллюзий не бывает никаких, потому что их там не может быть по определению. Так в чём же дело? Естественно, в математике! Человек-оркестр современной прикладной математики Дональд Е. Кнут [2] разыгрывает парадокс нетранзитивности на примере так называемой «игры Пенни» («Penney-Ante»). Смысл изобретённой Уолтером Пенни в 1969 году игры [3] очень прост: Алиса и Боб бросают по очереди монету до тех пор, пока не появится последовательность «решка, решка, орёл» или «решка, орёл, орёл» (сокращённо, соответственно, РРО и РОО). В игре выигрывает Алиса, если первой появится последовательность РРО, если раньше появится РОО – выигрывает Боб.

______________

«Задача о шляпах»

Головоломка за $1 млн. Логическая головоломка, представленная впервые в 1998 году в диссертации профессора Тодда Эберта (Todd Ebert) из Калифорнийского университета, не перестает будоражить умы математиков и кибернетиков. Столь пристальное внимание, в частности, объясняется тем, что в основе решения головоломки лежит идея так называемых корректирующих кодов, или кодов с исправлением ошибок, используемых в персональных компьютерах и электронике. Головоломка привлекла внимание ученых американского континента и стала предметом оживленных дискуссий в научных кругах – как среди исследователей из компаний высокотехнологичного сектора, так и на математических и кибернетических отделениях университетов. Постановка задачи такова: три человека один за другим входят в комнату, и на голову каждому из них надевается красная (К) или синяя (С) шляпа, в зависимости от того, как выпадет монетка – орлом или решкой. Уже находясь в комнате, человек видит цвета шляп двух других играющих, но не видит цвет собственной шляпы. Игроки не могут никаким образом общаться между собой, однако каждый из них может вслух предположить, какого цвета его шляпа.

Если хотя бы один из троих угадает, и никто не выскажет неверное предположение – каждый из игроков получит по 1 миллиону долларов! Если никто из игроков не угадает цвета своей шляпы, или хотя бы один выскажет неверное предположение, игроки уходят с пустыми руками.

Перед тем, как зайти в комнату, игроки могут выработать совместную стратегию. Они могут договориться, к примеру, о том, что только один определенный игрок попробует угадать цвет своей шляпы, а двое других не будут высказывать предположений. Эта стратегия дает 50-процентный шанс выигрыша. Однако могут ли игроки выработать стратегию, дающую большую вероятность успеха?

Большинство исследователей полагают, что это невозможно, так как цвета шляп не зависят друг от друга, и никто из троих игроков не может сделать никаких выводов относительно цвета собственной шляпы, видя только цвета шляп остальных. Любое же предположение с одинаковой вероятностью может оказаться как правильным, так и неверным.

Дайте шляпе шанс!

На самом же деле существует стратегия, дающая игрокам 75%-ный шанс на успех. По ней игрок, видя цвета шляп своих коллег по команде, должен сделать следующие выводы: если цвета шляп у них одинаковы, то цвет его шляпы – другой. Если же шляпы разного цвета, игрок не должен высказывать свое предположение. Перечислив все возможные комбинации цветов шляп игроков, легче понять смысл стратегии. Для трех человек существует восемь различных сочетаний цветов: ККК, ККС, КСК, СКК, ССК, СКС, КСС и ССС.

Первая комбинация означает, что на всех трех игроках красные шляпы, вторая – что на двух красные, а на оставшемся синяя и т.д.

В шести из восьми возможных сочетаний на двоих из трех игроков надеты шляпы одного цвета, и эти игроки не будут высказывать свое предположение, т.к. два других по отношению к каждому из них игрока будут иметь шляпы разного цвета, а оставшийся игрок назовет свой цвет шляпы – не такой, как у товарищей по игре. В двух из восьми случаев у всех троих игроков шляпы одного цвета, и все трое выскажут ошибочное предположение. Так что в 6 случаях из 8 игроки получат свои деньги, что составляет 75%-ную вероятность.

Свет корректирующего кода

При увеличении количества игроков до 7 развитие данной стратегии (по принципу «в большинстве случаев никто не высказывается неверно, в какой-то раз все неправы») позволит выиграть деньги с вероятностью 7/8. С 15 игроками шансы на успех составят 15/16.

Исследователи задались вопросом: могут ли возникать такого рода ситуации в реальной жизни, скажем, на фондовом рынке? Будет ли справедлива вышеизложенная стратегия, когда членам группы доступны лишь не зависящие друг от друга части информации, и каждый из них владеет информацией о других – но не о себе? Кроме того, идею, лежащую в основе такого рода стратегий, можно выразить в терминах корректирующих кодов, используемых в компакт-дисках, модемах, мобильных телефонах и огромном количестве другой электроники. Сюда относится и контрольная цифра на конце штрих-кода, представляющая сумму всех предыдущих цифр. Области применения корректирующих кодов разнообразны – возможно, именно эта идея приблизит идеальное «цифровое будущее», когда компьютеры и бытовая техника станут удобной повседневностью, а о программных ошибках будут вспоминать как о «темных временах» прогрессивного человечества.

По материалам сайта www.cnews.ru/topnews/2001/12/03/content3.shtml

_________________

Удачливая Алиса и бедняга Боб

Если используется правильная* монета, «Игра Пенни» выглядит определённо справедливой. Это вполне логично: последовательности РРО и РОО, если брать их по раздельности, обладают одинаковыми вероятностными характеристиками. Но при совместном рассмотрении обнаруживается некое небезынтересное взаимодействие этих последовательностей, именуемое нетранзитивностью.

Опуская подробности, разобранные корифеем дискретной математики, перейдём прямо к результату, суть которого в том, что при описанных правилах РРО и РОО (или образцах А и Б) Алиса будет примерно в два раза чаще выигрывать (NB: в стохастическую игру!), чем Боб. Важно, что образцы эти можно увеличивать, т.е. брать чередования «орлов» и «решек» длиннее чем в 3 символа, сохраняя при этом возможность доминирования одной из сторон за счёт правильного выбора стратегии. Пусть, например, Боб предлагает образец РОРР. Тогда, если Алиса отвечает ему выбором образца РРОР, она добьётся победы в соотношении 3/2. Такая особенность «игры Пенни» позволяет сформулировать в общем случае некоторое правило, которое даёт возможность одной из сторон добиться большего, чем чисто случайная победа, посредством выбора стратегии ответа на вызов. Математики в связи с этим говорят, что отношение между образцами нетранзитивно. Теперь, допустим, Боб, уже обыгранный хитроумной Алисой в «игру Пенни», решил попытать счастья в валютных спекуляциях. На курсах трейдеров он усвоил, что биржа, как и знакомая ему игра с подбрасыванием монеты, тоже принципиально дискретна. Это значит, что, открывая позицию, Боб неявно предполагает дальнейшее развитие тренда в нужную ему сторону как последовательность (в общем случае бесконечную) вида РРР... или ООО....

Но вне зависимости от того, в каком направлении бедняга открыл позицию, ожидать, например, последовательности РРРРР ему придётся почти вдвое дольше, чем последовательностей РРРРО или ОРРРР.

Монотонные последовательности относятся к т.н. самосовмещающимся. Относительно их известен важный результат, найденный впервые советским математиком А. Д. Соловьёвым [4] в 1966 году и заключающийся в том, что последовательности несамосовмещающиеся появляются раньше, чем самосовмещающиеся.

В нашем случае рынок рассматривается как часть социальной природы, а в социальных взаимодействиях многие процессы протекают по-иному вследствие задержки во времени. Систематическая задержка (память) порождает нетранзитивность, а последняя превращает статистически идентичные стратегии игроков в заведомо неравноценные. Как, например, в «игре Пенни».

Рассмотрим гипотетический механизм, с помощью которого биржа, «пользующаяся» случайной стратегией, может систематически «обыгрывать» придерживающегося той же самой стратегии трейдера, заставляя его закрывать большую часть позиций без достижения точки безубыточности.

Допустим, что Боб задался целью «уйти в нули». На FOREX ему для этого нужно «отловить» где-то от 4 до 8 пунктов, чтобы достичь break even point – точки безубыточного закрытия позиции. Для определённости будем полагать, что Боб последовательно открывает позиции, делая это в случайные моменты времени и определяя направление открытия своей позиции бросанием монеты. И пусть всякий раз он пытался «отловить» 5 пунктов движения рынка в сторону открытой случайным образом позиции. Если ко всему этому предположить ещё и период относительного затишья, когда броуновское движение рынка характеризуется малой волатильностью, то со всеми этими натяжками модель движения рынка тоже сведётся к бросанию монеты: орёл – движение на один пункт вверх, решка – на пункт вниз.

Подобная формулировка хорошо известна в классической теоpии вероятностей. Она и название имеет вполне подходящее – «задача о разорении игрока». В тех предположениях, что были описаны выше, результат хорошо известен. Если Боб будет делать take profit при достижении 5 пунктов в сторону открытой им позиции и ликвидировать позицию в случае, если рынок пройдёт 5 пунктов против неё, то одно из событий будет достигаться в среднем за 25 тиков (шагов) дискретного процесса изменения котировок.

Если бы всё происходило так, как описано в учебнике по теории вероятностей, то на продолжительной серии вхождений в рынок Боб и вправду бы «ушёл в нули», поскольку оба возможных события в описанных предположениях равновероятны и достигаются довольно быстро.

Но мгновенная (real time) реакция трейдера на процесс изменения котировок просто невозможна, равно как невозможно мгновенное исполнение команд трейдера на проведение сделки. Психофизиологические возможности человека и технические возможности биржи являются ограничителями скорости исполнения команд трейдера на открытие и закрытие позиции, т.е. в реальной биржевой практике неизбежны задержки во времени.

Далее мы должны предположить, что удачливая Алиса, накопившая положительный опыт в «игре Пенни», теперь работает на бирже. Несомненно, она знает, что задержка эквивалентна переходу от модели движения рынка, основанной на бросании одной монеты, к модели с двумя неодинаковыми монетами.

Обратим внимание на этот существенный для дальнейших выводов момент. В большинстве приложений тот факт, что «задержка дестабилизирует», является аксиомой. Для нас в рассматриваемом случае важно, что неизбежные задержки дестабилизируют т.н. «механистический трейдинг». Точнее, его умозрительную модель, основанную на гипотезе бросания монетки.

Умозрительная модель – модель для ума или зрителей?

В чём заключается умозрительная модель? Всего 25 подкидываний монетки – и мы на финише. Но задержки... Задержки влекут за собой модель уже с двумя монетами. Эта модель тоже хорошо известна математикам.

Не станем пересказывать теорию, заметим только, что в модели с двумя монетами для того, чтобы достичь движения 5 пунктов в ту или в другую сторону, требуется уже не 25 шагов, как в модели с одной монетой, а много больше. Но отсутствие быстрого роста в нужную нам сторону или, напротив, медленный дрейф против открытой нами позиции, как правило, завершаются ликвидацией последней.

Чем больше задержка, тем медленнее развивается броуновский процесс, тем реже в нём проявляются элитные (быстрорастущие в нужную сторону) последовательности. Психологически даже опытные игроки не всегда готовы к такому, как принято говорить, «контринтуитивному» поведению биржи, зато Алиса, несомненно, тщательно штудировавшая труды Кнута, хорошо это знает. Отсюда и вполне объяснимый (NB: психологически!) факт, что трейдеры, столкнувшиеся с парадоксом ожидания, чаще закрывают позиции, чем оставляют их развиваться дальше.

Пример, приведённый выше, действительно, несколько надуманный. Существуют и более близкие к реальной жизни способы оценивания эффективности стратегий. Броуновский характер движения цен на фондовой бирже и его связь со стратегией трейдера, выражаемой через мартингейл, первым установил в 1900 году Луи Башелье (Lois Bachelier). В его докторской диссертации, посвящённой новой тогда теме так называемых безобидных игр, профессора Сорбонны разобраться не смогли. Сама работа была впоследствии прочно забыта, а приоритет Башелье восстановлен лишь в трудах известного американского математика, лауреата Нобелевской премии по экономике Пола А. Самуэльсона (Paul A. Samuelson). То есть механизм биржевого парадокса считался понятым более ста лет тому назад. Что же даёт нам в практическом плане столь долгая история?

Не так уж и мало. В частности, рассеиваются иллюзии относительно эффективности стратегии т.н. механистического трейдинга: кинул монету, открыл, подождал, закрыл, снова кинул и т.д. Дело в том, что биржа реализует стратегию Алисы. Не потому, что именно за биржу «играют» острейшие умы (хотя, возможно, и не без того), просто как трейдер Боб уж очень ограничен в стратегиях, его выбор – всегда монотонные самосовмещающиеся последовательности. На достаточно продолжительных интервалах времени такая стратегия трейдера Боба побивается почти любой стратегией Алисы. Алиса успеха достигает за счёт того, что Боб вынужден дольше ожидать выигрывающих комбинаций. Вот и выходит, что по-настоящему эффективная стратегия трейдера не может быть в чистом виде случайной, ей неизбежно должен быть присущ детерминированный манёвр по времени. Иными словами, двоичным датчиком случайных чисел биржу не проймёшь. Чистая, в общем, психология: то, что принципиально неравномерно (биржа), здравому смыслу представляется как раз равномерным, и, напротив, равномерное в принципе (автобусное движение) на том же основании хочется объявить неравномерным!

Теперь понятнее афоризм, приписываемый Альберту Эйнштейну: «Здравый смысл – это сумма предубеждений, приобретённых до 18-летнего возраста». Нет, не зря, видно, спортивные тренеры считают, что с 18-летним игроком всё уже ясно: если это личность вполне безбашенная – будет играть, а коли успел где-то набраться здравого смысла, то – прощай, спортивная карьера.

А что поделаешь? Парадокс ожидания!

 Сноски: * Кнут добросовестно отмечает в цитированном источнике ([2], с. 438), что, например, американский пенни отнюдь не является «правильной монетой». При игре в «орлянку» он заметно чаще (9 раз из 10!) падает на одну сторону: распределение массы в нём таково, что «голова Линкольна перетягивает», пишет классик. – Прим. автора.

2002

Владимир Баранов

Литература:

1.Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже. – М.: КронПресс, 1996, с. 46.

2.Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основания информатики. – М.: Мир, 1998. – 448 с.

3.Penney W. Problem-95: Penney-Ante // Journal of Recreational Mathematics, 1974, № 7, p. 321.

4.Соловьёв А. Д. Одно комбинаторное тождество и его применение к задаче о первом наступлении редкого события // Теория вероятностей и её применение, 1966, № 11, с. 313-320.